24 - La caverne de Platon.
Dans cet article nous ferons un pas de plus vers l’abstraction. Que le lecteur peu porté vers les notions abstraites me pardonne. Ce sera mon dernier pas dans ce sens. Je reviendrai ensuite peu à peu à des notions plus concrètes, en décrivant ce qui me paraît être les conséquences matérielles de tout ceci.
J’ai comparé (article 19) les flux d’énergie au flux d’une rivière. C’est plus qu’une simple métaphore. L’énergie s’écoule effectivement comme un fluide, mais dans un espace abstrait ayant un très grand nombre de dimensions appelé l’espace des phases. Tel que nous le percevons, l’espace dans lequel nous vivons a trois dimensions. Cela veut dire que pour préciser la position d’un point dans cet espace il faut donner trois nombres ou coordonnées, par exemple sa latitude, sa longitude et son altitude. Pour préciser l’état d’un système mécanique, il faut en général beaucoup plus que trois nombres. La mécanique newtonienne nous apprend que l’évolution d’une masse ponctuelle est entièrement déterminée par sa position et sa vitesse. Aux trois nombres donnant sa position, il faut donc ajouter trois autres nombres donnant sa vitesse en grandeur et en direction. Ainsi pour préciser l’état d’un système mécanique limité à une seule masse ponctuelle il faut 6 nombres, ce qui veut dire que cet état peut être représenté par un point dans un espace à 6 dimensions. C’est l’espace des phases qui décrit l’évolution d’une masse ponctuelle.
Si l’on considère les atomes d’un gaz comme des masses ponctuelles, et si ce gaz contient N atomes, son état sera représenté par un point dans un espace des phases à 6N dimensions. Il est bien entendu impossible de connaître les 6N coordonnées de ce point. On peut tout au plus mesurer une distribution grossière des vitesses et des températures à l’intérieur du gaz. C’est ce qu’on appelle son état macroscopique. De façon générale, à un état macroscopique donné correspond toujours un grand nombre d’états dits microscopiques dont chacun est représenté par un point de l’espace des phases.
L’ensemble de ces points évolue au cours du temps suivant les lois de la mécanique, en particulier la loi de conservation de l’énergie. Cette loi implique que les trajectoires de ces points sont comparables à celles des gouttes d’eau dans une rivière. Un théorème dû au mathématicien français Joseph Liouville nous dit en effet que ces points se déplacent comme les particules d’un fluide incompressible. Tandis qu’une rivière suit la ligne de plus grande pente, notre fluide incompressible n’a pas de direction privilégiée vers laquelle se diriger. Que va-t-il faire? Comme une rivière dans une plaine, il va s’étaler. La rivière y fait des méandres. Notre fluide en fait de même.
Reprenons l’exemple de notre gaz représenté par un point dans un espace à 6N dimensions. L’ensemble des points représentatifs de ce gaz correspondant à une même énergie U se trouvent sur une “hypersurface” de dimension 6N -1. A cause des interactions entre les atomes du gaz, cette hypersurface évolue au cours du temps. On peut montrer qu’elle évolue comme la pâte d’un boulanger qui pétrit son pain, c’est-à-dire par repliement et étirage successifs. Deux points de la pâte initialement proches se retrouvent ainsi rapidement éloignés. C’est pourquoi des conditions initiales suffisamment voisines pour être indiscernables à l’observation, conduisent rapidement à des évolutions très différentes, d’où par exemple la difficulté des prévisions météorologiques.
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| Bifurcation |
Tirée du livre de Steven Strogatz (1), la figure ci-dessus montre une telle surface dans un espace limité à trois dimensions. Le paramètre x est inobservable. Les paramètres r et h sont les paramètres observés. On peut les modifier, c’est-à-dire se déplacer dans le plan horizontal r, h . Prenons comme exemple le déplacement indiqué par la flèche. Au cours de ce déplacement les paramètres r, h varient de façon continue, tandis que le paramètre x peut varier de façon discontinue (saut en pointillé), indiquant un changement brutal et irréversible de notre système. C’est ce que nous avons appelé une bifurcation.
La figure ci-dessus correspond à un type particulier de bifurcation représenté par la courbe en V tracée dans le plan r, h. On doit au mathématicien français René Thom une classification des bifurcations sous le nom de théorie des catastrophes, les restructurations brutales de notre système y étant assimilées à des catastrophes. En évoluant avec le temps, la surface représentée sur la figure va continuer à se replier sur elle-même formant une stucture fractale ((article 18)). Les plis successifs de cette surface engendrent les cascades de bifurcations que nous venons d’étudier.
Ainsi le monde observé ressemble étrangement aux ombres projetées par le feu sur la paroi de la caverne de Platon. Pour comprendre le monde, il faut être capable de reconstituer ce qui se passe dans cet immense espace des phases que nous venons de décrire. La mécanique statistique nous aide à le faire grâce aux lois des grands nombres.
(1) Steven H. Strogatz, Non-linear dynamics and chaos, Westview Press, Perseus, 1994.
Liens internet:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_des_phases
http://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouville
http://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Strogatz
http://fr.wikipedia.org/wiki/René_Thom
http://pst.chez-alice.fr/TCIvarEk.htm
http://virtualistes.org/platon.htm