{"id":167,"date":"2007-04-02T12:19:21","date_gmt":"2007-04-02T11:19:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.francois-roddier.fr\/wordpress\/?p=167"},"modified":"2014-11-21T16:33:55","modified_gmt":"2014-11-21T15:33:55","slug":"20-les-bifurcations","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/?p=167","title":{"rendered":"20 – Les bifurcations"},"content":{"rendered":"

Nous avons vu (article 17)<\/a> qu\u2019une structure dissipative est un syst\u00e8me hors \u00e9quilibre. Le d\u00e9s\u00e9quilibre peut \u00eatre d\u00fb \u00e0 une diff\u00e9rence (gradient) de temp\u00e9rature, de pression, de potentiel, etc\u2026 Dans la suite de ce blog on parlera de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale de tension<\/i> ou de stress<\/i>. Plus la tension est grande, plus le d\u00e9s\u00e9quilibre est important.<\/p>\n

L\u2019exp\u00e9rience montre que lorsque le d\u00e9s\u00e9quilibre est suffisamment faible, le flux d\u2019\u00e9nergie est proportionnel \u00e0 la tension. C\u2019est le cas par exemple de la conduction, o\u00f9 le flux de chaleur est proportionnel \u00e0 la diff\u00e9rence de temp\u00e9rature. C\u2019est le cas des \u00e9coulements laminaires o\u00f9 la vitesse du fluide est proportionnelle \u00e0 la diff\u00e9rence de pression. C\u2019est aussi le cas du courant \u00e9lectrique qui est proportionnel \u00e0 la diff\u00e9rence de potentiel (loi d\u2019Ohm). On est alors dans le domaine lin\u00e9aire des relations d\u2019Onsager<\/a>.<\/p>\n

Lorsque le d\u00e9s\u00e9quilibre d\u2019un syst\u00e8me augmente, sa structure peut devenir instable. Les instabilit\u00e9s qui appara\u00eessent provoquent un changement de structure. Le syst\u00e8me se r\u00e9organise de lui-m\u00eame. Une nouvelle structure appara\u00eet, plus favorable au flux d\u2019\u00e9nergie. On appelle cela une bifurcation<\/i>. C\u2019est le m\u00e9canisme d\u2019auto-organisation de l\u2019univers (article 19)<\/a>. <\/p>\n

Une bifurcation se produit lorsqu\u2019il y a comp\u00e9tition entre plusieurs structures possibles. La structure adopt\u00e9e est toujours celle qui favorise le plus le flux d\u2019\u00e9nergie. Parfois deux structures sont possibles, sym\u00e9triques l\u2019une de l\u2019autre. Elles sont alors \u00e9nerg\u00e9tiquement \u00e9quivalentes. Le syst\u00e8me choisit au hasard une des deux solutions. On dit qu\u2019il y a rupture de sym\u00e9trie. L\u2019auto-organisation de l\u2019univers en est parsem\u00e9e d\u2019exemples (article 19)<\/a>. Les ruptures de sym\u00e9trie sont une caract\u00e9ristique des bifurcations.<\/p>\n

Une autre caract\u00e9ristique des bifurcations est le ph\u00e9nom\u00e8ne d\u2019hyst\u00e9r\u00e9sis<\/a>. Lorsque l\u2019\u00e9quilibre d\u2019un syst\u00e8me est modifi\u00e9 et que celui-ci franchit un point de bifurcation o\u00f9 une restructuration devient possible, celle-ci ne se produit pas imm\u00e9diatement. Il y a retard \u00e0 la r\u00e9organisation dans un sens comme dans l\u2019autre. La transformation est en en partie irr\u00e9versible. Cela entra\u00eene une certaine stabilit\u00e9 des structures dissipatives et une m\u00e9morisation temporaire d\u2019information sur lesquelles nous reviendrons.<\/p>\n

En math\u00e9matiques, l\u2019\u00e9tude des bifurcations fait partie de l\u2019analyse des syst\u00e8mes dynamiques<\/a>. Les math\u00e9maticiens ont mis en \u00e9vidence de nombreux types de bifurcations et les ont class\u00e9es suivant les caract\u00e9ristiques des instabilit\u00e9s mises en jeu. Je me contenterai de d\u00e9crire ici \u00e0 titre d\u2019exemple le mod\u00e8le \u00e9volutif<\/a> dit \u201clogistique\u201d de Pierre-Fran\u00e7ois Verhulst<\/a>. Les lecteurs non-math\u00e9maticiens pourront ais\u00e9ment sauter les \u00e9quations.<\/p>\n

A la suite des publications de Malthus, ce math\u00e9maticien belge a propos\u00e9 de mod\u00e9liser la croissance d\u2019une population par une \u00e9quation diff\u00e9rentielle donnant l\u2019accroissement dN du nombre N d\u2019individus dans l\u2019intervalle de temps dt. Sous sa forme moderne, cette \u00e9quation s\u2019\u00e9crit:<\/p>\n

dN\/dt = r<\/b>.N.(1 – N\/K<\/b>)<\/p>\n

o\u00f9 r<\/b> est le taux de croissance de la population et (1 – N\/K<\/b>) est un facteur correctif impos\u00e9 par des ressources limit\u00e9es. On retrouve ici les notations r<\/b> et K<\/b> correspondant aux deux modes de s\u00e9lection naturelle (r<\/b><\/a> et K<\/b><\/a>) mentionn\u00e9s dans l\u2019article 17. La solution de cette \u00e9quation diff\u00e9rentielle est une sigmo\u00efde<\/a>. Une population initialement faible s\u2019accro\u00eet rapidement puis se stabilise \u00e0 la valeur K<\/b>.<\/p>\n

Si l\u2019on discr\u00e9tise cette \u00e9quation diff\u00e9rentielle, on obtient la suite logistique<\/a> liant la valeur de la population \u00e0 l\u2019instant t+1 \u00e0 sa valeur \u00e0 l\u2019instant t. Dans cette expression, X = N\/Nmax est le rapport (compris entre 0 et 1) de la population N \u00e0 sa valeur maximale Nmax.<\/p>\n

X(t+1) = \u03bc.<\/b>X(t).[1-X(t)].<\/p>\n

Il est remarquable qu\u2019une \u00e9quation aussi simple donne lieu \u00e0 tous les comportements typiques d\u2019un syst\u00e8me dynamique non-lin\u00e9aire, comportements que nous allons bri\u00e8vement d\u00e9crire.<\/p>\n

Si \u03bc<\/b> est inf\u00e9rieur \u00e0 1, la population va bien s\u00fbr s\u2019\u00e9teindre. Si \u03bc<\/b> est compris entre 1 et 3, la population cro\u00eet et se stabilise \u00e0 la valeur
\n(\u03bc<\/b>-1)\/\u03bc<\/b>. Pour les valeurs de \u03bc<\/b> tr\u00e8s voisines de 1, cette valeur est proportionnelle au taux de croissance \u03bc<\/b>-1. C\u2019est le domaine lin\u00e9aire dont nous avons parl\u00e9 plus haut. Au del\u00e0 de \u03bc<\/b> = 3, l\u2019\u00e9volution devient instable. C\u2019est la premi\u00e8re bifurcation. Pour 3 < \u03bc <\/b> < 3,449\u2026 la population oscille entre deux valeurs diff\u00e9rentes correspondant aux deux branches de la figure ci-dessous. Au del\u00e0 de \u03bc<\/b> = 3,449\u2026 la population oscille alternativement entre 4 valeurs, puis 8 valeurs, 32 valeurs, etc\u2026 (voir figure). Au del\u00e0 de \u03bc<\/b> = 3,57\u2026, le chaos<\/a> s\u2019installe. De tr\u00e8s l\u00e9g\u00e8res variations des conditions initiales conduisent \u00e0 des r\u00e9sultats radicalement diff\u00e9rents. L\u2019\u00e9volution du syst\u00e8me devient impr\u00e9visible sauf pour quelques valeurs de \u03bc<\/b> exceptionnelles pour lesquelles on observe \u00e0 nouveau des oscillations p\u00e9riodiques. Un syst\u00e8me dynamique non-lin\u00e9aire est ainsi caract\u00e9ris\u00e9 par toute une famille de bifurcations conduisant \u00e0 un chaos dynamique.<\/p>\n\n\n\n
\"Bifurcation0\"<\/a>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\nValeurs limites de la suite logistique\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Nous avons d\u00e9j\u00e0 vu deux exemples physiques de bifurcations pris en dynamique des fluides. L\u2019un est le passage de la conduction \u00e0 la convection (article 10)<\/a>. L\u2019autre est le passage d\u2019un \u00e9coulement laminaire \u00e0 un \u00e9coulement turbulent (article 11)<\/a>. Dans ces exemples, un syst\u00e8me initialement lin\u00e9aire (flux proportionnel \u00e0 la tension) devient non lin\u00e9aire. Si l\u2019on continue \u00e0 accro\u00eetre la tension de nouvelles bifurcations peuvent se produire menant peu \u00e0 peu vers le chaos. On peut comparer le mouvement p\u00e9riodique du fluide dans une cellule de B\u00e9nard aux oscillations de la suite logistique. Dans ces exemples, il y a aussi rupture de sym\u00e9trie. Dans une cellule convective ou un tourbillon le fluide peut tourner dans un sens ou dans un autre, souvent au hasard.<\/p>\n

Il est int\u00e9ressant de d\u00e9crire l\u2019apparition de telles instabilit\u00e9s \u00e0 l\u2019\u00e9chelle microscopique. Je le ferai ici dans le cas du passage de la conduction \u00e0 la convection (1). Ce passage se produit lorsque le gradient de temp\u00e9rature devient suffisamment important. Consid\u00e9rons une mol\u00e9cule du fluide dans l\u2019exp\u00e9rience de B\u00e9nard (article 10)<\/a>. Cette mol\u00e9cule est agit\u00e9e d\u2019un mouvement brownien<\/a> d\u2019autant plus rapide que la temp\u00e9rature du fluide est plus \u00e9lev\u00e9e.<\/p>\n

Supposons qu\u2019\u00e0 un moment donn\u00e9, apr\u00e8s un choc, la vitesse de cette mol\u00e9cule soit dirig\u00e9e vers le haut. Entre deux chocs successifs, elle va parcourir une distance de l\u2019ordre de son libre parcours moyen<\/a>.
\nSi au bout de ce parcours la temp\u00e9rature du fluide n\u2019a pas sensiblement chang\u00e9, un nouveau choc va l\u2019envoyer aussi bien vers le bas que vers le haut. En moyenne, elle va errer (on dit aussi diffuser) lentement. On dit qu\u2019il y a \u00e9quilibre thermodynamique local<\/a>.<\/p>\n

Si au contraire la temp\u00e9rature a sensiblement diminu\u00e9 alors, faute d\u2019\u00e9nergie suffisante, un nouveau choc a peu de chances de l\u2019arr\u00eater dans son mouvement ascendant. Plus elle monte, plus la temp\u00e9rature diminue et moins son mouvement a de chances d\u2019\u00eatre arr\u00eat\u00e9. Il y a instabilit\u00e9. D\u2019autres mol\u00e9cules de son entourage vont se trouver dans la m\u00eame situation. Ces mol\u00e9cules vont former une zone de fluide chaud au milieu d\u2019un fluide plus froid. Propuls\u00e9 par la pouss\u00e9e d\u2019Archim\u00e8de un courant ascendant se forme. La convection appara\u00eet. Nous retiendrons ici que, de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale, il y a instabilit\u00e9, donc bifurcation, si l\u2019environnement change de fa\u00e7on notable entre deux transferts d\u2019\u00e9nergie, c\u2019est-\u00e0-dire lorsqu\u2019il n\u2019y a plus \u00e9quilibre thermodynamique local.<\/p>\n

Au point de bifurcation, on dit parfois que le syst\u00e8me est dans un \u00e9tat critique. Dans notre prochain blog, nous verrons comment les \u00e9tats critiques s\u2019auto-organisent.<\/p>\n

(1) Ce ph\u00e9nom\u00e8ne est d\u00e9crit par un syst\u00e8me d\u2019\u00e9quations non-lin\u00e9aires appel\u00e9 syst\u00e8me de Lorentz.<\/p>\n

Liens internet:<\/b>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Th\u00e9orie_d’Onsager
\n<\/a>http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Hyst\u00e9r\u00e9sis<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Syst\u00e8me_dynamique<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Mod\u00e8le_\u00e9volutif_r\/K<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Pierre_Fran\u00e7ois_Verhulst<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Esp\u00e8ce_\u00e0_strat\u00e9gie_r<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Esp\u00e8ce_\u00e0_strat\u00e9gie_K<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Sigmo\u00efde_(math\u00e9matiques)<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Fonction_logistique<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Th\u00e9orie_du_chaos<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Mouvement_brownien<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Libre_parcours_moyen<\/a>
\nhttp:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/\u00c9quilibre_thermodynamique<\/a><\/p>\n

Sur les propri\u00e9t\u00e9s des bifurcations voir aussi (class\u00e9s par ordre de difficult\u00e9 croissante):<\/p>\n

\u2022 en fran\u00e7ais:
\nhttp:\/\/www.bibmath.net\/dico\/index.php3?action=affiche&quoi=.\/l\/logistique.html<\/a>
\nhttp:\/\/pilat.free.fr\/tech\/bif_gif.htm<\/a><\/p>\n

\u2022 en anglais:
\nhttp:\/\/www.redfish.com\/research\/SchneiderKay1995_OrderFromDisorder.htm<\/a>
\nhttp:\/\/berglund.univ-tln.fr\/hystabt.html<\/a>
\nhttp:\/\/www.saltspring.com\/brochmann\/math\/chaos\/chaos-3\/chaos-3.00.html<\/a>
\nhttp:\/\/mathworld.wolfram.com\/LogisticMap.html<\/a>
\nhttp:\/\/www.egwald.com\/nonlineardynamics\/<\/a><\/p>\n

Lectures<\/b>
\nJames Gleick – La th\u00e9orie du chaos: vers une nouvelle science (Flammarion, 1999)
\nM. Mitchell Waldrop – Complexity: the emerging science at the edhe of order and chaos (Simon & Schuster, 1992)
\nEdward N. Lorentz – The essence of chaos (U. of Washington Press, 1996)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nous avons vu (article 17) qu\u2019une structure dissipative est un syst\u00e8me hors \u00e9quilibre. Le d\u00e9s\u00e9quilibre peut \u00eatre d\u00fb \u00e0 une diff\u00e9rence (gradient) de temp\u00e9rature, de pression, de potentiel, etc\u2026 Dans la suite de ce blog on parlera de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rale de tension ou de stress. Plus la tension est grande, plus le d\u00e9s\u00e9quilibre est important. … Continuer la lecture de 20 – Les bifurcations<\/span> →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-167","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/167","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=167"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/167\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":172,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/167\/revisions\/172"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=167"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=167"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.francois-roddier.fr\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=167"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}